Состояние Белла

Состояние Белла — определённое состояние двух кубитов; простейший пример квантовой запутанности.

Определение

Состояние Белла — одно из следующих четырёх квантовых состояний двух кубитов $A$ и $B$ .

|\beta _{00}\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cdot (|00\rangle +|11\rangle ),

|\beta _{01}\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cdot (|01\rangle +|10\rangle ),

|\beta _{10}\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cdot (|00\rangle -|11\rangle ),

|\beta _{11}\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cdot (|01\rangle -|10\rangle ).

Состояние Белла $|\beta _{ij}\rangle$ можно получить, подав состояние $|ij\rangle$ на схему с элементом Адамара и CNOT на рисунке.
Состояния Белла образуют ортонормированный базис в четырёхмерном гильбертовом пространстве, известный как базис Белла.
Измерение в базисе Белла называется измерением Белла. Измерение Белла можно произвести используя обратную схему к схеме на рисунке.

Квантовое сверхплотное кодирование основано на тождествах
$(I\otimes I)|\beta _{00}\rangle =|\beta _{00}\rangle ,$

$(X\otimes I)|\beta _{00}\rangle =|\beta _{01}\rangle ,$

$(Z\otimes I)|\beta _{00}\rangle =|\beta _{10}\rangle ,$

$(Z\cdot X\otimes I)|\beta _{00}\rangle =|\beta _{11}\rangle ,$
Квантовая телепортация основана на тождестве
$|\phi \rangle \otimes |\beta _{00}\rangle ={\tfrac {1}{2}}\cdot |\beta _{00}\rangle \otimes |\phi \rangle +{\tfrac {1}{2}}\cdot |\beta _{01}\rangle \otimes (X|\phi \rangle )+{\tfrac {1}{2}}\cdot |\beta _{10}\rangle \otimes (Z|\phi \rangle )+{\tfrac {1}{2}}\cdot |\beta _{11}\rangle \otimes (X\cdot Z|\phi \rangle ).$